Módulo 3 Funciones

Estudio general de funciones: ceros, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad, convexidad, asíntotas...

Puede que tengamos dudas sobre el uso GeoGebra en el aula, pero, en el caso de las funciones, no hay excusa porque es una herramienta que nos facilita enormemente la labor como vamos a ver enseguida.

En primer lugar, escribiremos lo siguiente en la Entrada de la Vista Algebraica:

a x + b (no son necesarios los espacios)

El programa dibuja la función (definiéndola como f(x)) y crea los parámetros a y b como deslizadores (que podemos redefinir en la configuración). Podéis probar esta técnica rápida y sencilla con cualquier función.

El estudio de la función es muy sencillo con GeoGebra.

También podemos visualizar el proceso de dibujo de la función creando un punto sobre el eje de abscisas (sea por ejemplo P) y escribiendo (donde inf se interpreta como infinito):

Función(f,-inf,x(P))

Animamos el punto P y vemos como se construye la función. En la Entrada escribimos:

A = (x(P),f(x(P)) que será el punto de la función correspondiente a la abscisa de P.

Al punto A le podemos asignar una condición que puede depender del signo de la función, el de la derivada o el de la derivada segunda. Para ello, en la configuración del punto A, en la pestaña Avanzado, en la sección “Color Dinámico” definimos los colores del código RGB como mejor nos convenga. En el ejemplo, si la función en el punto A es positiva, el rojo tendrá el valor 1 y en caso contrario 0. Lo mismo pasará con el color azul cuando la función sea negativa. Las condiciones pueden ser aún más elaboradas mientras tengamos en cuenta la sintaxis de estas (no sirve escribir solo “A”).

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Fig. 3-1 Colores dinámicos en la configuración de un punto

Existe también la posibilidad de usar el “Analizador de funciones” image.png . Es una herramienta muy completa que incluye una tabla de valores.

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Fig. 3-1a y 1b Analizador de funciones

Basta con clicar en la función una vez seleccionada la herramienta. Su uso es muy sencillo e intuitivo. Podemos modificar el rango de valores moviendo los puntos extremos del intervalo de la función que se destaca en la Vista Gráfica o bien introduciendo los valores en la parte inferior de la ventana del Analizador, en la pestaña “Intervalo”.

En esta lista encontraréis todas las herramientas para las funciones. Y añadimos esta otra (sin actualizar por lo que algunos comandos quizás se hayan modificado o ya no existan) más completa. De hecho, la colección de comandos de GeoGebra es muy completa y se puede hallar aquí. Finalmente, aquí tenéis la lista de operadores y funciones.

Derivadas e integrales con GeoGebra.

Para calcular una derivada de cualquier orden basta con escribir f’, f’’ directamente en la Entrada o bien usar los comandos Derivada(Función) o Derivada(Función,Número).

Para la integral de una función usaremos los comandos Integral(Función) o Integral(Función, Extremo superior del intervalo, Extremo inferior del intervalo). Con el segundo comando se visualiza el área bajo de la función.

Podemos repetir la construcción anterior substituyendo la tangente por este segundo comando con x(A) como extremo superior del intervalo. El extremo inferior lo podemos obtener a partir de un punto en el eje de abscisas. Si a és el nombre del área que visualiza GeoGebra, escribiremos como punto (x(A),a).

Para la introducción al tema de la Integral en el aula disponemos de unos comandos muy útiles.

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Fig. 3-2 Comandos para visualizar el concepto de integral

Bastará crear un deslizador con valores enteros (de 1 a lo que queráis) para incluirlo en el comando. Es interesante ver el resultado exacto de la integral y compararlo con el que dan los comandos.

No hay que olvidar los comandos sobre límites que también servirán para explicar el concepto en el aula.

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Fig. 3-3 Comandos para el cálculo de límites de funciones

Los detalles sobre estos comandos están en la colección de comandos citada más arriba.

Funciones a trozos

El problema de dibujar funciones a trozos en la pizarra se acaba con GeoGebra. El procedimiento es muy sencillo.

En este video podréis ver como introducir texto usando la opción “Fórmula LaTeX”. También podemos rotar textos con el comando “Rota Texto”.

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Fig. 3-4 Comando para rotar texto

Transformación de funciones. Función inversa

Podemos transformar funciones con las herramientas correspondientes (simetrías, rotaciones, homotecias y traslaciones). Basta con elegir la transformación y clicar en la función. También se pueden aplicar dos transformaciones a la vez, pero solo desde la línea de Entrada. GeoGebra da como resultado una curva con un parámetro t. La sintaxis general de una curva es

Curva (Expresión, Expresión, Parámetro, Valor inicial, Valor final)

Lo podemos ver en la imagen adjunta transformando una función (color rojo) con una rotación respecto a un punto (color azul) y luego con una simetría respecto del eje Y (color verde). Observad que el comando es Refleja mientras que la herramienta se denomina Simetría.

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Fig. 3-5 Transformaciones de una función

Para la función inversa tenemos el comando Inversa(Función) aunque no funcionará si el resultado no es una función. Probad que sucede en el caso de la función sin(x).

Podemos recurrir entonces a la construcción habitual a partir de una simetría respecto de la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante.

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Fig. 3-6 Gráfica de la inversa de una función 

Optimización

Hay una gran variedad de problemas de optimización y nos limitaremos aquí a una construcción, aunque volveremos sobre esta cuestión cuando salgamos de Planilandia.

Conviene primero configurar la medida de ángulos en radianes clicando en el icono de configuración de la barra de Estilos de la Vista Algebraica. La opción aparece en la parte inferior de la pestaña.

Aunque GeoGebra no nos da la expresión de la función podemos mirar de deducirla usando las herramientas denominadas “Ajustes”. Tenemos que dibujar una serie de puntos sobre el lugar geométrico y crear una lista con ellos poniéndolos entre llaves {}.
 

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Fig. 3-7 Ajustes a partir de puntos con diferentes funciones

Conviene colocar los focos de la elipse en el eje de abscisas, simétricos respecto del origen, si queremos probar estos comandos.

Actividad 3

Proponed una función y haced un estudio completo de la misma con las herramientas que hemos visto en este módulo. Para modificar la escala de los ejes existe un procedimiento muy sencillo. Consiste en usar la herramienta “Desplaza Vista Gráfica” image.png(que es una alternativa al ratón) y colocar la encima de los ejes. Se convierte en una doble flecha (hacia arriba y hacia abajo) y podemos “estirar” o “encoger” los ejes a voluntad arrastrándola con el ratón.

Con la estrategia que hemos usado en la construcción con la elipse, determinad el punto de la parábola y = 27 – x2, situado en el primer cuadrante, tal que el triángulo determinado por la tangente a la parábola en este punto y los ejes de coordenadas tenga área mínima. Obtened el punto y el valor del área. Se trata de resolver gráficamente el problema usando el programa.